Question

18．設(shè)函數(shù)f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-3）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• B． （-∞，-3）∪（0，3）
• C． （-3，0）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），利用g（x）的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性與奇偶性，求出不等式的解集即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）-f（x）＜0成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（-3）=0，
∴g（-3）=$\frac{f（-3）}{-3}$=0，
∴g（-3）=-g（3）=0，
當(dāng)x＞0，f（x）＞0，
即g（x）＞0=g（3），解得：x＞3，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
即g（x）＜g（-3）=0，解得：x＜-3
故不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（3，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．