Question

8．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4．
（Ⅰ）若f（x）在x=2處取得極值，且關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，f（x）在x=2處取得極值，求出a，然后求解函數(shù)的極值，通過關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求解實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求出函數(shù)的最大值，利用最大值大于0，即可滿足條件，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合a的取值討論，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2ax由題意得f′（2）=0，解得a=3-------（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)a=3滿足條件------（3分）
f（x）=-x³+3x²-4，則f′（x）=-3x²+6x------（4分）
令f′（x）=0，則x=0，x=2（舍去）-------（5分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	-4	↗	-2

------（7分）
∵關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴-4＜m≤-2------（8分）
（Ⅱ）由題意得，f（x）_max＞0即可
f（x）=-x³+ax²-4，f′（x）=-3x²+2ax=-3x（x-$\frac{2}{3}$a）
①若a≤0，則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
∵f（0）=-4＜0∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜-4＜0
∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0-------（10分）
②當(dāng)a＞0時(shí)f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{2}{3}$a）	$\frac{2}{3}$a	（$\frac{2}{3}$a，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4	↘

∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（$\frac{2}{3}$a）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4
由$\frac{4{a}^{3}}{27}$-4＞0得a＞3--------（12分）
綜上得a＞3．
另：第2小題可以分離參數(shù)，可按步得分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．