Question

13．已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+3，x∈[-1，1]
（Ⅰ）a=2時(shí)，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=2^x，求出t的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為g（t）=t²-at+3≤0對(duì)t∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）令t=2^x，由x∈[-1，1]得t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
f（x）=g（t）=t²-at+3，
a=2時(shí)，f（x）=g（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，
t∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)g（t）遞減，t∈[1，2]時(shí)g（t）遞增，
g（1）=2，g（2）=3∴g（t）∈[2，3]即f（x）的值域?yàn)閇2，3]；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，則g（t）=t²-at+3≤0對(duì)t∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≤0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+3≤0}\\{4-2a+3≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{13}{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{13}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．