Question

7．求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使不等式|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1對(duì)滿足|a|＜1，|b|＜1的一切實(shí)數(shù)a，b恒成立．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1轉(zhuǎn)化為分式，可得|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1?（a²λ²-1）（b²-1）＞0，由于|b|＜1，則b²-1＞0，即只需a²λ²-1＞0即可，分a=0與a≠0兩種情況討論，可得答案．

解答 解：∵|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1
?|1-abλ|²-|aλ-b|²
=（a²λ²-1）（b²-1）＞0，
∵b²＜1，
∴a²λ²-1＜0對(duì)于任意滿足|a|＜1的a恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，a²λ²-1＜0成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使λ²＜$\frac{1}{{a}^{2}}$對(duì)于任意滿足|a|＜1的a恒成立，
而$\frac{1}{{a}^{2}}$＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式性質(zhì)的基本運(yùn)用，注意結(jié)合題意，進(jìn)行分式、整式的轉(zhuǎn)化，一般利要積的符號(hào)法則進(jìn)行分析．