Question

2．設(shè)兩個(gè)非零向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的起點(diǎn)相同，且$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的終點(diǎn)在同一條直線上，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 由題意可知：$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow$，整理得：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$是兩個(gè)不共線的非零向量，可得$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，解方程即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上，
$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow$，
整理得：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，
由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$是兩個(gè)不共線的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}}\\{t=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的終點(diǎn)在同一條直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查平面向量的共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．