Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率

1

2

，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為

10

，過左焦點(diǎn)作直線OP的垂線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△ABP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，求得c=1，再由離心率公式，可得a，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，及點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到面積．

解答： 解：（1）左焦點(diǎn)（-c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為

10

，
則

(c+2)2+1

=

10

，解得，c=1．
由于橢圓的離心率

1

2

，即

c

a

=

1

2

，即有a=2，b=

a2-c2

=

3

，
則橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于左焦點(diǎn)為（-1，0），直線OP的斜率為

1

2

，
則垂線l的斜率為-2，
垂線l的方程為y=-2x-2，
P到l的距離d=

|2×2+1+2|

1+4

=

7

5

，
將l的方程代入橢圓方程，得19x²+32x+4=0，
則有x₁+x₂=-

32

19

，x₁x₂=

4

19

，
則|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

( 32 19 )2- 16 19

=

60

19

．
則△ABP的面積為

1

2

d•|AB|=

1

2

×

7

5

×

60

19

=

42 5

19

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．