Question

6．已知拋物線${C_1}：{x^2}=4y$的焦點(diǎn)F也是橢圓${C_2}：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C₂的離心率為$e=\frac{1}{3}$，過點(diǎn)F的直線l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，與C₂相交于C，D兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$同向．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過C₁方程可知c²=a²-b²=1，通過橢圓C₂的離心率為$e=\frac{1}{3}$，可得a，即得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，設(shè)直線l方程為y=kx+1，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)F（0，1）也是橢圓C₂的焦點(diǎn)，所以橢圓C₂中c=1，∵$e=\frac{1}{3}$，∴$a=3，b=2\sqrt{2}$，所以橢圓${C_2}：\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$…（3分）
（Ⅱ）因?yàn)?\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$同向且|AC|=|BD|，所以|AB|=|CD|．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+1
則$\sqrt{{k^2}+1}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{k^2}+1}|{x_3}-{x_4}|$
即|x₁-x₂|=|x₃-x₄|…（5分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得：x²-4kx-4=0，
所以$|{x_1}-{x_2}|=4\sqrt{{k^2}+1}$…（7分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1\end{array}\right.$得：（8k²+9）x²+16kx-64=0
所以$|{x_3}-{x_4}|=\frac{{48\sqrt{{k^2}+1}}}{{8{k^2}+9}}$…（10分）
所以$4\sqrt{{k^2}+1}=\frac{{48\sqrt{{k^2}+1}}}{{8{k^2}+9}}$，解得：$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．