Question

1．橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a=2，結(jié)合橢圓的離心率及隱含條件求得b，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）可得直線QM和QN的斜率存在，分別設(shè)為k₁，k₂．等價(jià)于k₁+k₂=0，設(shè)出直線PQ的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，然后借助于根與系數(shù)的關(guān)系整體運(yùn)算得答案．

解答 解：（ I）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（3分）
（ II）若存在點(diǎn)Q（m，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，
則直線QM和QN的斜率存在，分別設(shè)為k₁，k₂．
等價(jià)于k₁+k₂=0．…（4分）
依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．…（5分）
因?yàn)橹本�l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△＞0．
即（16k²）²-4（2k²+1）（32k²-4）＞0，解得${k^2}＜\frac{1}{6}$．…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{32{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，…（7分）
y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）．
令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，即（x₁-m）y₂+（x₂-m）y₁=0，
（x₁-m）•k（x₂-m）+（x₂-m）•k（x₁-m）=0，…（8分）
當(dāng)k≠0時(shí)，2x₁x₂-（m+4）（x₁+x₂）+8m=0，
所以2×$\frac{32{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$-（m+4）×$\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+8m=0$，
化簡得，$\frac{8（m-1）}{2{k}^{2}+1}=0$，
所以．…（11分）
當(dāng)k=0時(shí)，也成立．
所以存在點(diǎn)Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，涉及直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．