Question

13．函數(shù)f（x）=a^x+1-2的圖象恒過點A（其中實數(shù)a滿足a＞0且a≠1），若點A在直線mx+ny+2=0上，且mn＞0，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求出答案．

解答 解：由x+1=0得x=-1，此時f（-1）=a^-1+1-2=-1，
∴函數(shù)f（x）=a^x+1-2的圖象恒過定點A（-1，-1），
∵點A在直線mx+ny+2=0上，
∴-m-n+2=0，即m+n=2，
∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+n）
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$）=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}=\frac{m}{n}$即n=m時取等號，
故答案為：2．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用基本不等式求最值問題，考查整體代換思想，化簡、變形能力．