Question

5．如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F．
（1）求證：AF⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=2，求平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出SA⊥BC，AB⊥BC，從而BC⊥平面SAB，進而BC⊥AE，再由AE⊥SB于點E，得到AE⊥SC，由EF⊥SC于F得SC⊥平面AEF，由此能證明SC⊥AF．
（2）過B作BP∥SA，以B為原點，BC，BA，BP直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩SA=A，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
∵AE⊥SB于點E，SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，
又∵EF⊥SC于F，∴AE∩EF=F，
∴SC⊥平面AEF，
∴SC⊥AF．
解：（2）由題意知CB⊥平面SAB，過B作BP∥SA，
以B為原點，BC，BA，BP直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∴A（0，2，0），C（2，0，0），S（0，2，2），
由（1）知SC⊥平面AEF，∴平面AEF的法向量$\overrightarrow{SC}$=（2，-2，-2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．