Question

7．已知函數f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，給出下列四個命題：
①函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{4}$對稱；
②函數f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調遞增；
③函數f（x）的最小正周期為π；
④函數f（x）的值域為[-2，2]．
其中真命題的序號是②④．（將你認為真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 利用三角函數的周期性、單調性、值域以及它的圖象的對稱性，判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答 解：對于函數f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，由于f（-$\frac{3π}{4}$）=-2，f（$\frac{5π}{4}$）=0，∴f（-$\frac{3π}{4}$）≠f（$\frac{5π}{4}$），
故f（x）的圖象不關于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，故排除①．
在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 單調遞增，故②正確．
函數f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，f（$\frac{4π}{3}$）=0，∴f（$\frac{π}{3}$）≠f（$\frac{4π}{3}$），故函數f（x）的最小正周期不是π，故③錯誤．
當cosx≥0時，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值為2，最小值為-2；
當cosx＜0時，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=-2sinxcosx+sin2x=0，
綜合可得，函數f（x）的最大值為2，最小值為-2，故④正確，
故答案為：②④．

點評 本題主要考查三角函數的周期性、單調性、值域以及它的圖象的對稱性，屬于基礎題．