Question

17．已知定義域為I的函數f（x），若存在開區(qū)間（a，b）⊆I和正的常數c，使得任意x∈（a，b）都有-c＜f（x）＜c，且對任意x∉（a，b）都有|f（x）|=c恒成立，則稱f（x）為區(qū)間I上的“Z型”函數，給出下列函數：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≤1}\\{4-2x，1＜x＜3}\\{-2，x≥3}\end{array}\right.$；②f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx，其中是區(qū)間I上的“Z型”函數的是①（只需寫出序號即可）

Answer 1

分析 ①根據題中的定義，逐步判斷即可；
②④在x取無窮大時，函數值也為無窮大，③根據函數的圖象顯然可判斷．

解答 解：①當x∈（1，3）時，f（x）=4-2x，則-2＜f（x）＜2；
當x∈[3，+∞）時，f（x）=-2，當x∈（-∞，1]時，f（x）=2，
∴|f（x）|=2；即滿足對任意的x∈（1，3）都有-C＜f（x）＜C，
且對任意的x∉（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，
即①為R上的“Z型”函數，故正確；
②④在x取無窮大時，函數值也為無窮大，
故不存在對任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函數，錯誤；
③根據函數的圖象知函數為周期函數，雖然有最值，但不符合題中的條件，
不滿足對任意的x∈（a，b）都有-C＜f（x）＜C，且對任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，
故錯誤．
故答案為：①．

點評 考查了對新定義函數的理解，緊扣定義，利用定義判斷是否符合定義是關鍵．