Question

6．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形（O為坐標原點），則橢圓的離心率$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由題意可知：設A（$\frac{c}{2}$，y），代入橢圓方程，求得y，由等比三角形的性質可知：丨y丨=$\sqrt{3}$•$\frac{c}{2}$，由離心率的公式及離心率的取值范圍，即可求得橢圓離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點在x軸上，設A（$\frac{c}{2}$，y），
將x=$\frac{c}{2}$代入橢圓方程$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．
∵△OFP為等邊三角形，則tan∠AOF=$\frac{y}{\frac{c}{2}}$
∴$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$×$\frac{c}{2}$．
化為：e⁴-8e²+4=0，0＜e＜1．
解得：e²=4-2$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，解得：e=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查等邊三角形的性質，考查計算能力，屬于中檔題．