Question

11．若有窮數(shù)列{a_n}（n≥3）同時滿足：
（1）$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0；（2）$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1；則稱數(shù)列{a_n}為n階好數(shù)列．
給出以下命題（以下數(shù)列項數(shù)都大于或等于3）：
①不存在有窮常數(shù)列，它是好數(shù)列；
②存在等差數(shù)列，它是好數(shù)列；
③若有窮等比數(shù)列{a_n}是2k階好數(shù)列（k≥2），則它的公比只能等于-l；
④存在各項非負的2013階好數(shù)列．
以上所有正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 ①假設存在有窮常數(shù)列{c}，它是好數(shù)列，則nc=0，解得c=0，而不滿足$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1，即可判斷出正誤；
②例如：數(shù)列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$，是等差數(shù)列，為好數(shù)列，即可判斷出正誤．
③有窮等比數(shù)列{a_n}是2k階好數(shù)列（k≥2），則必然q＜0，由$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0，則a₁×$\frac{1-{q}^{2k}}{1-q}$=0，解得q=-1．
④不可能存在各項非負的2013階好數(shù)列，否則$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0不滿足，即可判斷出正誤．

解答 解：①假設存在有窮常數(shù)列{c}，它是好數(shù)列，則nc=0，解得c=0，而不滿足$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1，因此不存在有窮常數(shù)列，它是好數(shù)列，正確．
②例如：數(shù)列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$，是等差數(shù)列，為好數(shù)列，正確．
③有窮等比數(shù)列{a_n}是2k階好數(shù)列（k≥2），則必然q＜0，由$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0，則a₁×$\frac{1-{q}^{2k}}{1-q}$=0，解得q^2k=1，則q=-1．
因此它的公比只能等于-l，正確；
④不可能存在各項非負的2013階好數(shù)列，否則$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0不滿足，因此不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．