Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2}{3}$，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點．
（1）若點C的坐標為（2，$\frac{5}{3}$），求a，b的值；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的離心率求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，將（2，$\frac{5}{3}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值；
（2）方法二：設(shè)直線OC的斜率，代入橢圓方程，求得C的縱坐標，則直線直線AB的方程為x=my-a，代入橢圓方程，求得B的縱坐標，由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則直線直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；方法二：由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，y₂=2y₁，將B和C代入橢圓方程，即可求得C點坐標，利用直線的離心率公式即可求得直線AB的斜率．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，①
由點C在橢圓上，將（2，$\frac{5}{3}$）代入橢圓方程，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{25}{9^{2}}=1$，②
解得：a²=9，b²=5，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，
（2）方法一：由（1）可知：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，則橢圓方程：5x²+9y²=5a²，
設(shè)直線OC的方程為x=my（m＞0），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，消去x整理得：5m²y²+9y²=5a²，
∴y²=$\frac{5{a}^{2}}{5{m}^{2}+9}$，由y₂＞0，則y₂=$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5{m}^{2}+9}}$，
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則AB∥OC，設(shè)直線AB的方程為x=my-a，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my-a}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，整理得：（5m²+9）y²-10amy=0，
由y=0，或y₁=$\frac{10am}{5{m}^{2}+9}$，
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則（x₁+a，y₁）=（$\frac{1}{2}$x₂，$\frac{1}{2}$y₂），
則y₂=2y₁，
則$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5{m}^{2}+9}}$=2×$\frac{10am}{5{m}^{2}+9}$，（m＞0），
解得：m=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
則直線AB的斜率$\frac{1}{m}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
方法二：由（1）可知：橢圓方程5x²+9y²=5a²，則A（-a，0），
B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則（x₁+a，y₁）=（$\frac{1}{2}$x₂，$\frac{1}{2}$y₂），則y₂=2y₁，
由B，C在橢圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{x}_{2}^{2}+9{y}_{2}^{2}=5{a}^{2}}\\{5（\frac{1}{2}{x}_{2}-a）^{2}+9（\frac{{y}_{2}}{2}）^{2}=5{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{a}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}}\end{array}\right.$，
則直線直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
直線AB的斜率$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，向量共線定理，考查計算能力，屬于中檔題．