Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時(shí)，f（x）=2x²-2x-lnx，
f′（x）=4x-2-$\frac{1}{x}$，f（1）=0，f′（1）=1，
故切線方程是y=x-1即x-y-1=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-ax-1}{x}$，函數(shù)的定義域是（0，+∞），
令g（x）=2ax²-ax-1，
（1）a=0時(shí)，g（x）=-1＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，
（2）a≠0時(shí)，△=a²+8a，
（i）若-8≤a＜0，△≤0，g（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
（ii）若a＞0，△＞0，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＜0，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞0，
x∈（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時(shí)，g（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f（x）遞增；
（iii）若a＜-8，△＞0，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞0，
x∈（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時(shí)，g（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時(shí)，g（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f（x）遞減，
綜上，a＜-8時(shí)，f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞減，
在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）遞減；
-8≤a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞減；
a＞0，f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．