Question

11．已知一條拋物線的焦點是直線l：y=-x-t（t＞0）與x軸的交點，若拋物線與直線l交兩點A，B，且$|{AB}|=2\sqrt{6}$，則t=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 當(dāng)y=0，求得焦點坐標(biāo)求得拋物線方程，將直線代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點弦公式，即可求得t的值．

解答 解：當(dāng)y=0時，x=-t，則拋物線的焦點F（-t，0），
則拋物線方程y²=-4tx，設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4tx}\\{y=-x-t}\end{array}\right.$，整理得：x²+6tx+t²=0，
則x₁+x₂=-6t，
則丨AB丨=丨x₁+x₂-2t丨=8t=2$\sqrt{6}$，
∴t=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．