Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．變形為a_n+1+1=2（a_n+1）．即可證明．
（2）由（1）可得：a_n+1=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-1，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
（2）解：由（1）可得：a_n+1=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-1，
可得前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．