Question

13．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）y=1-sinx
（2）y=sin$\frac{x}{2}$
（3）y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（4）y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)t=sinx的單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間，求出對(duì)應(yīng)的正弦型函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）正弦函數(shù)t=sinx的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
∴函數(shù)y=1-sinx的單調(diào)減區(qū)間是[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
單調(diào)增區(qū)間是[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z；
∴y=sin$\frac{x}{2}$的單調(diào)增區(qū)間是[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；
同理，函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z；
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z；
∴y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z；
同理，函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（4）y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）=1-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{2π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{4π}{3}$+4kπ，k∈Z；
∴y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）的單調(diào)減區(qū)間是[-$\frac{2π}{3}$+4kπ，$\frac{4π}{3}$+4kπ]，k∈Z；
同理，函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間是[$\frac{4π}{3}$+4kπ，$\frac{10π}{3}$+4kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求對(duì)應(yīng)正弦型函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．