Question

8．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的x₁∈[1，e]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得a-lnx₁=x₂²e^x₂成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e]
• B． [1+$\frac{1}{e}$，e]
• C． （1，e]
• D． （1+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的取值范圍，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的值域，由題意可知：[a-1，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，即可求得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=a-lnx，x∈[1，e]單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=a，f（x）_min=a-1，
∴f（x）∈[a-1，a]，
設(shè)g（x）=x²e^x，
∵對(duì)任意的x₁∈[1，e]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得a-lnx₁=x₂²e^x₂成立，
∴[a-1，a]是g（x）的不含極值點(diǎn)的單值區(qū)間的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈[-1，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）=x²e^x是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函數(shù)，
∵g（-1）=$\frac{1}{e}$＜e=g（1），
∴[a-1，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞\frac{1}{e}}\\{a≤e}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{e}$+1＜a＜e．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用到求函數(shù)單調(diào)性及值域，考查集合之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．