Question

8．已知a=$\frac{1}{π}\int_{-2}^2$（$\sqrt{4-{x^2}}$-ex）dx，若（1-ax）²⁰¹⁷=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₂₀₁₇x²⁰¹⁷（x∈R），則$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$的值為（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． 1
• D． e

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可得：a=$\frac{1}{π}{∫}_{-2}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$-$\frac{1}{π}{∫}_{-2}^{2}exdx$=2．因此（1-2x）²⁰¹⁷=${（1-ax）^{2017}}={b_0}+{b_1}x+{b_2}{x^2}+…+{b_{2017}}{x^{2017}}（x∈R）$，分別令x=0，1=b₀；x=$\frac{1}{2}$，則0=b₀+$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$，即可得出．

解答 解：$a=\frac{1}{π}\int_{-2}^2{（\sqrt{4-{x^2}}-ex）dx}$=$\frac{1}{π}{∫}_{-2}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$-$\frac{1}{π}{∫}_{-2}^{2}exdx$=$\frac{1}{π}×\frac{1}{2}π×{2}^{2}$-$\frac{1}{2}e{x}^{2}{|}_{-2}^{2}$=2．
∵（1-2x）²⁰¹⁷=${（1-ax）^{2017}}={b_0}+{b_1}x+{b_2}{x^2}+…+{b_{2017}}{x^{2017}}（x∈R）$，
令x=0，則1=b₀．
x=$\frac{1}{2}$，則0=b₀+$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$，
∴$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$=-1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、微積分基本定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．