Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{2-x}}，x＜2\\{log_3}（x+1），x≥2\end{array}\right.$若對(duì)任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為3．

Answer 1

分析 設(shè)u=f（x）≥1，對(duì)任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，可得a≥$\frac{4}{u}$-$\frac{1}{{u}^{2}}$=-（$\frac{1}{u}$-2）²+4，即可求出實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{2-x}}，x＜2\\{log_3}（x+1），x≥2\end{array}\right.$的圖象如圖所示，
設(shè)u=f（x）≥1，
對(duì)任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，
∴a≥$\frac{4}{u}$-$\frac{1}{{u}^{2}}$=-（$\frac{1}{u}$-2）²+4，
∵0＜$\frac{1}{u}$≤1，
∴-（$\frac{1}{u}$-2）²+4≤3
∴a≥3，當(dāng)u=1，x=2時(shí)取等號(hào)，
∴a的最小值是3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查參數(shù)分離方法的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．