Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=AB=$\frac{1}{2}$AD=2，PB=2$\sqrt{2}$，PA⊥AD，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=60°，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求多面體PABCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解三角形可得AB⊥PA，AB⊥AC，由線面垂直的判定可得AB⊥平面PAC，進(jìn)一步得到AB⊥PC；
（Ⅱ）由題意知PA⊥AD，由（I）知AB⊥PA，可得PA⊥平面ABCD，結(jié)合E為PD的中點(diǎn)求得E點(diǎn)到平面ADC的距離為$\frac{1}{2}$PA=1，然后由多面體PABCE的體積為V_P-ABCD-V_E-ACD求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA=AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，∴PA²+AB²=PB²，則AB⊥PA，
由題意知∠ABC=∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
在△ABC中，由余弦定理有：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=12，
∴AB²+AC²=BC²，即AB⊥AC，
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴AB⊥PC；
（Ⅱ）解：由題意知PA⊥AD，由（I）知AB⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD，
由已知得PA=AB=$\frac{1}{2}AD=2$，∴PA=AB=2，AD=4，
∵E為PD的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)到平面ADC的距離為$\frac{1}{2}$PA=1，
∴多面體PABCE的體積為${V}_{P-ABCD}-{V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}×2×2×sin60°×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×1$=$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．