Question

17．已知函數(shù)f（x）∈{sinx，|log₂x|，log₂|x|，${x^{\frac{1}{2}}}}$}，且f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）寫出滿足條件的函數(shù)f（x）的解析式（不用說(shuō)明理由）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）；
①若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-2）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②當(dāng)m＞$\frac{1}{4}$時(shí)，判斷g（x）＞$\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上是否恒成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=log₂|x|為偶函數(shù)；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，$g（x）=m•{2^{{{log}_2}|x|}}+{x^2}={x^2}+m•|x|$，取絕對(duì)值，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸$\frac{m}{2}≥-2$求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②由$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，可得x²+m|x|$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$．去絕對(duì)值得x²+mx$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，即4x³+（4m-1）x²-4＞0．由m＞$\frac{1}{4}$，可得函數(shù)F（x）=4x³+（4m-1）x²-4（1≤x≤2）為增函數(shù)，從而得到當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由題意，f（x）=log₂|x|，…（3分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，$g（x）=m•{2^{{{log}_2}|x|}}+{x^2}={x^2}+m•|x|$，
當(dāng)x∈（-∞，-2），此時(shí)g（x）=x²-mx．
若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-2）上是減函數(shù)，則$\frac{m}{2}≥-2$，∴m≥-4；…（6分）
②由$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，可得x²+m|x|$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$．
若x∈[1，2]，則x²+mx$＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$，
整理得，4x³+（4m-1）x²-4＞0．…（8分）
因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，4x³+（4m-1）x²-4＞0在x∈[1，2]上是否恒成立．…（9分）
令F（x）=4x³+（4m-1）x²-4（1≤x≤2），
當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，則4m-1＞0，可判斷出函數(shù)F（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞增．
∴F（x）≥F（1）=4m-1＞0．
因此，當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，4x³+（4m-1）x²-4＞0在x∈[1，2]上恒成立．
∴當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，$g（x）＞\frac{x}{4}+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．