Question

5．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜邊AB=4，D是AB中點，現(xiàn)將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，點C為圓錐底面圓周上一點，且∠BOC=90°，
（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）求直線CD與平面BOC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，點C為圓錐底面圓周上一點，且∠BOC=90°，qj 圓錐的側(cè)面積S_側(cè)=πrl=2×4×π=8π．
（2）取OB的中點E，連結(jié)DE、CE，說明∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△AOB中，$∠OAB=\frac{π}{6}$，斜邊AB=4，D是AB中點，
將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，點C為圓錐底面圓周上一點，且∠BOC=90°，
∴圓錐的側(cè)面積S_側(cè)=πrl=2×4×π=8π．

（2）取OB的中點E，連結(jié)DE、CE，
則DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直線CD與平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{3}$，
tan∠DCE=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴$∠DCE=arctan\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線CD與平面BOC所成角的大小為arctan$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力邏輯推理能力以及計算能力．