Question

17．某工廠有甲、乙兩生產(chǎn)車間，其污水瞬時(shí)排放量y（單位：m³/h ）關(guān)于時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系均近似地滿足函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其圖象如下：
（Ⅰ）根據(jù)圖象求函數(shù)解析式；
（II）由于受工廠污水處理能力的影響，環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時(shí)刻的污水排放量之和不超過5m³/h，若甲車間先投產(chǎn)，為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲多少小時(shí)投產(chǎn)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖可得A，b，利用周期公式可求ω，將t=0，y=3，代入y=sin（$\frac{π}{3}$t+φ）+2，結(jié)合范圍0＜φ＜π，可求φ從而可求函數(shù)解析式．
（II）設(shè)乙車間至少比甲車間推遲m小時(shí)投產(chǎn)，據(jù)題意得cos[$\frac{π}{3}$（t+m）]+2+cos（$\frac{π}{3}$t）+2≤5，
化簡(jiǎn)可得-$\frac{1}{2}$≤cos（$\frac{π}{6}$m）≤$\frac{1}{2}$，由m∈（0，6），可得范圍2≤m≤4，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由圖可得：A=$\frac{1}{2}$（3-1）=1，…1分
b=$\frac{1}{2}$（3+1）=2，…2分
∵$\frac{2π}{ω}$=6，
∴ω=$\frac{π}{3}$，…3分
∴將t=0，y=3，代入y=sin（$\frac{π}{3}$t+φ）+2，可得：sinφ=1，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，…5分
∴y=sin（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{2}$）+2=cos（$\frac{π}{3}$t）+2，
∴所求函數(shù)的解析式為y=cos（$\frac{π}{3}$t）+2，（t≥0），…6分
（注：解析式寫成y=sin（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{2}$）+2，或未寫t≥0不扣分）
（II）設(shè)乙車間至少比甲車間推遲m小時(shí)投產(chǎn)，…7分
根據(jù)題意可得：cos[$\frac{π}{3}$（t+m）]+2+cos（$\frac{π}{3}$t）+2≤5，…8分
∴cos（$\frac{π}{3}$t）cos（$\frac{π}{3}$m）-sin（$\frac{π}{3}$t）sin（$\frac{π}{3}$m）+cos（$\frac{π}{3}$t）≤1，
∴[1+cos（$\frac{π}{3}$m）]cos（$\frac{π}{3}$t）-sin（$\frac{π}{3}$t）sin（$\frac{π}{3}$m）≤1，
∴$\sqrt{[1+cos（\frac{π}{3}m）]^{2}+[sin（\frac{π}{3}m）]^{2}}$≤1，
∴$\sqrt{2+2cos（\frac{π}{3}m）}$≤1，可得：2|cos（$\frac{π}{6}$m）|≤1，…11分
∴-$\frac{1}{2}$≤cos（$\frac{π}{6}$m）≤$\frac{1}{2}$，由m∈（0，6），可得：$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{6}$m≤$\frac{2π}{3}$，
∴2≤m≤4，
∴為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲2小時(shí)投產(chǎn)…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量較大，屬于中檔題．