Question

1．設(shè)x＞0，y＞0，若不等式2log${\;}_{\frac{1}{2}}$[（a-1）x+ay]≤1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（xy）恒成立，則4a的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• C． $\sqrt{6}$+2
• D． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把原不等式變形，然后分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，換元后利用導(dǎo)數(shù)求得最值得答案．

解答 解：由2log${\;}_{\frac{1}{2}}$[（a-1）x+ay]≤1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（xy），
得log${\;}_{\frac{1}{2}}$[（a-1）x+ay]²≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$xy），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+ay＞0}\\{{[（a-1）x+ay]}^{2}≥\frac{1}{2}xy}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+ay＞0}\\{a≥\frac{x+\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+y}}\end{array}\right.$，
由a≥$\frac{x+\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+y}=\frac{1+\sqrt{\frac{1}{2}•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$（t＞0），
得a≥$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$，令u=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$，
則u′=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{t}^{2}-2t+\frac{\sqrt{2}}{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，令u′=0，得t=-$\sqrt{2}+\sqrt{3}$（負(fù)值舍去）．
∴函數(shù)u=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$在（0，$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞減．
∴t=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$時(shí)，u有最大值為$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴4a的最小值為$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．