Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x），x＜0}\\{\frac{x}{{e}^{x-1}}．x≥0}\end{array}\right.$，若方程[f（x）]²+mf（x）-m（m+1）=0有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． -1≤m＜$\frac{4}{5}$
• B． m≤-1或m＞1
• C． m=-1或m＞1
• D． m=-1或0＜m＜1

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，得出方程f（x）=t的解得個(gè)數(shù)，從而確定關(guān)于t的方程t²+mt-m（m+1）=0的解得分布情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式解出m的范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

令t=f（x），由圖可知，
當(dāng)t＜0或t＞1時(shí)，方程f（x）=t有1解；
當(dāng)t=0或t=1時(shí)，方程f（x）=t有2解；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程f（x）=t有3解．
若方程[f（x）]²+mf（x）-m（m+1）=0有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則方程t²+mt-m（m+1）=0必有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²+4m（m+1）＞0，解得m＞0，或m＜-$\frac{4}{5}$．
不妨設(shè)這兩個(gè)根為t₁＜t₂且t₁＜t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=0}\\{{t}_{2}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}＜0}\\{0＜{t}_{2}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜{t}_{1}＜1}\\{{t}_{2}＞1}\end{array}\right.$，
令g（t）=t²+mt-m（m-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）=0}\\{1+m-m（m-1）=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）＞0}\\{1+m-m（m-1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）＜0}\\{1+m-m（m-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1或m=-1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．