Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+1（a∈R），試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分解因式后，根據(jù)a＞0，a=0和a＜0，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+1，a∈R
∴f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜-$\frac{2a}{3}$，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{2a}{3}$，0）．
②當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）=3x²≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{2a}{3}$，或x＜0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{2a}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．