Question

11．點M是拋物線x²=2py（p＞0）的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上，在△PFM中，sin∠PFM=λsin∠PMF，則λ的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理求得丨PM丨=λ丨PF丨，根據(jù)拋物線的定義，則$\frac{1}{λ}$=$\frac{丨PB丨}{丨PM丨}$，sinα=$\frac{1}{λ}$，則λ取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，將直線方程代入拋物線方程，△=0，求得k的值，即可求得λ的最大值．

解答 解：過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義可得|PF|=|PB|，由sin∠PFM=λsin∠PMF，
則△PFM中由正弦定理可知：則丨PM丨=λ丨PF丨，
∴|PM|=λ|PB|
∴$\frac{1}{λ}$=$\frac{丨PB丨}{丨PM丨}$，
設PM的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{λ}$，
當λ取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，
設直線PM的方程為y=kx-$\frac{p}{2}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，
即x²-2pkx+p²=0，
∴△=4p²k²-4p²=0，
∴k=±1，即tanα=±1，
則sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則λ的最大值為$\frac{1}{sinα}$=$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查正弦定理，考查直線與拋物線相切，考查計算能力，屬于中檔題．