Question

2．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P為AB邊上的點$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，則λ的最大值是（　�。�

• A． $\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把三角形放入直角坐標(biāo)系中，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用已知條件運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次不等式的解法，即可求出λ的最大值．

解答 解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
∴以C為坐標(biāo)原點CA所在直線為x軸，
CB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：
C（0，0），A（1，0），B（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
∴λ∈[0，1]，$\overrightarrow{AP}$=（-λ，λ），
$\overrightarrow{CP}$=（1-λ，λ），$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$=（λ-1，1-λ），
若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，
∴λ-1+λ≥λ²-λ+λ²-λ．
2λ²-4λ+1≤0，
解得：1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤λ≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵λ∈[0，1]，
∴λ∈[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
則λ的最大值是1．
故選：C．

點評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)運算，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題