Question

1．若△ABC的三個內角A，B，C滿足A+C=2B，且最大邊為最小邊的2倍，求該三角形三個內角之比．

Answer 1

分析 由三角形內角和定理求出B=60°，即角B不是最大和最小邊；設最大邊為a，最小邊為c，得a=2c，利用正弦定理，求出A、C的值，即得三內角之比．

解答 解：△ABC的三個內角A，B，C滿足2B=A+C，
且A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
不妨設a為最大邊，則c為最小邊，即a=2c，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
即$\frac{2c}{sin（120°-C）}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sin120°cosC-cos120°sinC=2sinC，
化簡得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosC，
即tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴C=30°，A=90°，
∴A：B：C=90°：60°：30°=3：2：1；
即三內角之比為3：2：1．

點評 本題考查了正弦定理的應用問題，解題的關鍵是找出三角形的最大邊和最小邊，是基礎題．