Question

9．已知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）如果直線y=x+m與這個(gè)拋物線交于不同的兩點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線方程，將M代入拋物方程，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），則拋物線的焦點(diǎn)在y的負(fù)半軸上，
∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=-2py（p＞0），
又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，則3=-2p×（-2$\sqrt{3}$），解得：p=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y；
（2）將直線方程代入拋物線方程：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}y}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，整理得2x²+$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$m=0，
則△=b²-4ac=3-8$\sqrt{3}$m＞0，解得：m＜$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
m的取值范圍（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與拋物線的交點(diǎn)問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．