Question

3．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，△PAB與△ABC是等腰三角形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2$\sqrt{2}$，AC⊥BA，點(diǎn)E是線段AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段PD，PC上．
（Ⅰ）證明：CD⊥AG；
（Ⅱ）若三棱錐E-BCF的體積為$\frac{1}{6}$，求$\frac{FD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，AC⊥BA，可得AC⊥CD．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，可得CD⊥平面PAC，即可證明CD⊥AG．
（II）設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為d，利用三棱錐的體積計(jì)算公式可得：V_E-BCF=V_F-BEC，可得d，進(jìn)而得出答案．

解答 （Ⅰ）證明：依題意，因?yàn)锳B∥CD，AC⊥BA，所以AC⊥CD．
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因?yàn)锳C∩PA=A，所以CD⊥平面PAC，
因?yàn)锳G?平面PAC，所以CD⊥AG．
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為d，
則${S_{△BEC}}=\frac{1}{2}•BE•BC•sin∠EBC=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{3}$，
由${V_{E-BCF}}={V_{F-BEC}}=\frac{1}{3}{S_{△BEC}}d=\frac{1}{6}$，得$d=\frac{3}{4}$，
故$\frac{FD}{PD}=\fracrdcd0mv{PA}=\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．