Question

10．若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3×2ⁿ-3，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n²，則數(shù)列{b_n}的前100項的和為（　�。�

• A． 3×4¹⁰⁰-3
• B． 3×4¹⁰⁰
• C． 2×4¹⁰⁰
• D． 2×4¹⁰⁰-3

Answer 1

分析 利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出${a}_{n}=3×{2}^{n-1}$．從而得到b_n=a${\;}_{n}^{2}$=9×4^n-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的前100項的和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3×2ⁿ-3，
∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3×2-3=3，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3×2ⁿ-3）-（3×2^n-1-3）=3×2^n-1，
當(dāng)n=1時，上式成立，
∴${a}_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n²，∴b_n=a${\;}_{n}^{2}$=9×4^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前100項的和：
${T}_{100}=\frac{9×（1-{4}^{100}）}{1-4}$=3×4¹⁰⁰-3．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列前100項和的求法，考查數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．