Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4．
（I）證明數(shù)列{a_n+4}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}滿足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4，a_n+1+4=2（a_n+4），即可得出．
（II）由（I）可得：a_n+4=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-4，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-2；n≥2時(shí)，a_n≥0，可得n≥2時(shí)，S_n=-a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答 （I）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4，∴a_n+1+4=2（a_n+4），∴數(shù)列{a_n+4}是等比數(shù)列，公比與首項(xiàng)為2．
（II）解：由（I）可得：a_n+4=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-4，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-2；n≥2時(shí)，a_n≥0，
∴n≥2時(shí)，S_n=-a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+（2²-4）+（2³-4）+…+（2ⁿ-4）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4（n-1）=2ⁿ⁺¹-4n+2．n=1時(shí)也成立．
∴S_n=2ⁿ⁺¹-4n+2．n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．