Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的上頂點，且S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l過右焦點F₂且交橢圓E于P、Q兩點，點M是直線x=2上的任意一點，直線MP、MF₂、MQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₃=λk₂成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求利用三角形的面積公式$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，根據(jù)橢圓的離心率及a，b和c的關(guān)系，求得a與b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）當斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式可知k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-2}$，代入即可求得k₁+k₃=2t，則k₂=$\frac{t}{2-1}$=t，即可求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由F₁（-c，0），A（a，0），B（0，b），
則S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
則（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，即（a+c）$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$c，
則（$\sqrt{2}$c+c）$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
解得：c=1，則a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F₂的坐標為F₂（1，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（2，t），
當直線l的斜率不為0時，設(shè)l的方程為x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（m²+2）y²+2my-1=0，
則y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
則k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}-1}$=$\frac{（{y}_{1}-t）（m{y}_{2}-1）+（{y}_{2}-t）（m{y}_{1}-1）}{（m{y}_{1}-1）（m{y}_{2}-1）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-（mt+1）（{y}_{1}+{y}_{2}）+2t}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$，
=$\frac{-\frac{2m}{{m}^{2}+2}+\frac{2m（mt+1）}{{m}^{2}+2}+2t}{-\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+1}$，
=$\frac{4{m}^{2}t+4t}{2{m}^{2}+2}$=2t，
由k₂=$\frac{t}{2-1}$=t，則k₁+k₃=2k₂，
當直線l的斜率為0時，顯然k₁+k₃=$\frac{t}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{t}{2-\sqrt{2}}$=2t=2k₂，
k₁+k₃=2k₂，成立，
綜上可知：存在λ=2，使得k₁+k₃=λk₂成立．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．