Question

7．圖形的對稱，正弦曲線的流暢都能體現(xiàn)“數學美”．“黃金分割”也是數學美得 一種體現(xiàn)，如圖，橢圓的中心在原點，F(xiàn)為左焦點，當$\overrightarrow{FB}⊥\overrightarrow{AB}$時，其離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求得|BF|²+|AB|²=|AF|²，代入由雙曲線的離心率公式即可求得離心率e．

解答 解：在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
由題意可知，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
由e＞1，則e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故黃金雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，

點評 本題考查橢圓與雙曲線的應用，考查雙曲線離心率的求法，考查計算能力，屬于基礎題．