Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，x∈R
（1）當(dāng)a=2，求f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=2代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f（0）=0及f′（0）=-1，代入直線方程的點斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)可得：當(dāng)a≤1時，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=0恒成立；當(dāng)a＞1時，存在x₀∈（0，+∞），使f′（x₀）=0，則f（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，可得當(dāng)x∈[0，x₀）時，f（x）＜f（0）=0，不合題意，綜合可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，$f（x）={e}^{x}-2x-1-\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴f（0）=0，則f′（x）=e^x-2-x，f′（0）=-1，
∴所求切線方程為y=-x；
（2）f′（x）=e^x-x-a，
令h（x）=f′（x）=e^x-x-a，
則h′（x）=e^x-1，當(dāng)x≥0時，h′（x）≥0，則f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）≥f′（0）=1-a，
當(dāng)a≤1時，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=0恒成立；
當(dāng)a＞1時，存在x₀∈（0，+∞），使f′（x₀）=0，則f（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x∈[0，x₀）時，f（x）＜f（0）=0，不合題意，
綜上，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．