Question

3．若點(diǎn)P是曲線$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線$y=x-\frac{5}{2}$的距離的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意作圖，故當(dāng)點(diǎn)P是曲線的切線中與直線$y=x-\frac{5}{2}$平行的直線的切點(diǎn)時(shí)，距離最小；從而解得．

解答 解：由題意作圖如下，

當(dāng)點(diǎn)P是曲線的切線中與直線y=x-2平行的直線的切點(diǎn)時(shí)，距離最小；
曲線$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$
故令y′=3x-$\frac{2}{x}$=1解得，x=1；
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）；
故點(diǎn)P到直線y=x-$\frac{5}{2}$的最小值為：$\frac{|1-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何意義的運(yùn)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．