Question

8．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，正方形ABCD的頂點都在C₁上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為$（2，\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求點A，B，C，D的直角坐標；
（Ⅱ）設(shè)P為C₂上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的普通方程是x²+y²=4，極坐標方程是ρ=2．即可得出點A，B，C，D的極坐標．
（II）曲線C₂的極坐標系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，兩邊平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ可得直角坐標方程，可得參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）．故可設(shè)P（3cosθ，2sinθ）其中θ為參數(shù)．利用兩點之間的距離公式可得t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=32+20cos²θ，即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的普通方程是x²+y²=4，極坐標方程是ρ=2．
∴點A，B，C，D的極坐標為$（2，\frac{π}{6}），（2，\frac{2π}{3}），（2，\frac{7π}{6}），（2，\frac{5π}{3}）$，
從而點A，B，C，D的直角坐標為$（\sqrt{3}，1），（-1，\sqrt{3}），（-\sqrt{3}，-1），（1，-\sqrt{3}）$．
（II）曲線C₂的極坐標系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，兩邊平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，可得直角坐標方程：4x²+9y²=36，即曲線C₂的直角坐標方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，其參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）．
故可設(shè)P（3cosθ，2sinθ）其中θ為參數(shù)．
∴t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=36cos²θ+16sin²θ+16=32+20cos²θ，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值為52．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．