Question

17．如圖，已知直線PA與半圓O切于點(diǎn)A，PO交半圓于B，C兩點(diǎn)，AD⊥PO于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：∠PAB=∠BAD；
（Ⅱ）求證：PB•CD=PC•BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，PA與半圓O切于點(diǎn)A，證明∠PAB=∠BAD，即可證明AB平分∠PAD；
（Ⅱ）證明△PAB∽△PCA，$\frac{PB}{BD}=\frac{PC}{CD}$，即可證明PB•CD=PC•BD．

解答 證明：（Ⅰ）由題意，BC為半圓O的直徑，A為半圓O上一點(diǎn)，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACD，
∵PA與半圓O切于點(diǎn)A，
∴∠PAB=∠ACD，
∴∠PAB=∠BAD，
∴AB平分∠PAD；
（Ⅱ）連接AC，
∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{PA}{AC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{AC}$．
在Rt△BAC中，AD⊥CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{AD}{CD}$，$\frac{PB}{PA}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PC}{DC}=\frac{PA}{AD}$，$\frac{PB}{BD}=\frac{PA}{AD}$，
∴$\frac{PB}{BD}=\frac{PC}{CD}$，
∴PB•CD=PC•BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．