【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)，，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到線的距離公式表示出及點(diǎn)到直線的距離，則利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，且周長為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因?yàn)橹本�與垂直，所以可設(shè)直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設(shè)，，則，，.

又點(diǎn)到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因?yàn)?/span>，，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.

（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程.

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【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦MN的長為8．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點(diǎn)，長為的線段PQ的兩端點(diǎn)在軌跡C上滑動(dòng)．當(dāng)軸是的角平分線時(shí)，求直線PQ的方程．

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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，是橢圓上一點(diǎn).

（1）記、是橢圓的左右焦點(diǎn)，若直線過，當(dāng)到的距離與到直線的距離相等時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)關(guān)于軸對稱，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程；

（3）設(shè)直線和與軸分別交于，證明：為定值.

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【題目】在極坐標(biāo)系中，已知曲線：和曲線：，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線交曲線于點(diǎn)，求線段長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，過極點(diǎn)的兩射線、相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），且的傾斜角為銳角.

（1）求曲線C和射線的極坐標(biāo)方程；

（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時(shí)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）設(shè)x，y∈A，對任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)，過的直線與圓交于點(diǎn)，過做直線平行交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過的直線與交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，且，求四邊形面積的最大值．

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