Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x-a），其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上的最小值是-

e

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零，求出不等式的解區(qū)間就是函數(shù)的遞增區(qū)間．
（2）討論函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，求出最小值，解方程即可．

解答： 解；∵f（x）=e^x（x-a），∴f'（x）=e^x（x+1-a），令f'（x）≥0，得x≥a-1．
列表如下；

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，∞
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

故函數(shù)f（x）在（-∞，a-1）上是遞減函數(shù)，在（a-1，+∞）上是遞增函數(shù)
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時，需要對a-1進行分類討論：
①當(dāng)a-1≤0，即a≤1時，f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值是f（0）=-a
令-a=-

e

，解得a=

e

＞1，與a≤1矛盾，舍去a=

e

②當(dāng)a-1≥1，即a≥2時，f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值是f（1）=e（1-a）
令e(1-a)=-

e

，解得a=1+

e

e

＜2，與a≥2矛盾，舍去a=1+

e

e

③當(dāng)0＜a-1＜1，即1＜a＜2時，f（x）在區(qū)間（0，a-1）單調(diào)遞減；在區(qū)間（a-1，1）單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值是f（x）_極小值=f（a-1）=e^a-1（a-1-a）=-e^a-1
令-ea-1=-

e

，解得a=

3

2

，適合1＜a＜2
綜上，當(dāng)a=

3

2

當(dāng)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值是-

e

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．