Question

3．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點．求證：
（1）PB∥平面EFH；
（2）PD⊥平面AHF．

Answer 1

分析 （1）要證PB∥平面EFH，須證PB平行平面EFH內的一條直線即可．
（2）要證PD⊥平面AHF，須證PD垂直面內兩條相交直線即可．

解答 解：（1）證明：∵E，H分別是線段PA，AB的中點，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB∉平面EFH，
∴PB∥平面EFH．
（2）解：∵F為PD的中點，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

點評 本題考查空間直線與平面之間的位置關系，考查了轉化思想，是中檔題．