Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}滿足S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．n=1時，a₁=S₁．即可得出a_n．
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項和為T_n．$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$．利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$[-\frac{（n-1）^{2}}{2}+\frac{3（n-1）}{2}]$=-n+2．
n=1時，a₁=S₁=-$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=1，n=1時上式也成立．
∴a_n=-n+2．
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項和為T_n．
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$．
∴T_n=$\frac{1}{1}+0-\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{-n+2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+0-$\frac{1}{{2}^{3}}$-…+$\frac{-n+3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1-$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{-n+2}{{2}^{n}}$，
可得T_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．