【題目】如圖，四邊形是梯形，四邊形是矩形，且平面平面，，，是線段上的動點.

（1）試確定點的位置，使平面，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）是線段的中點，理由見解析 （2）

【解析】

（1）當是線段的中點時，平面．連結，交于，連結，利用三角形中位線定理能夠證明平面．

（2）法一：過點作平面與平面的交線，過點作于，過作于，連結，由已知條件推導出是平面與平面所成銳二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

法二：分別以，，的方向為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

解：（1）當是線段的中點時，平面.

證明如下：

連結，交于，連結，

由于分別是，的中點，所以，

由于平面，又平面，

所以平面.

（2）方法1：過點作平面與平面的交線，

由于平面，可知，

過點作于，

因為平面平面，，

所以平面，則平面平面，

所以平面，

過作于，連結，則直線平面，

所以，

故是平面與平面所成銳二面角的平面角.

設，則，，

，則，

所以，即所求二面角的余弦值為.

方法2：

因為平面平面，，所以平面，

可知兩兩垂直，分別以的方向為軸，建立空間直角坐標系.

設，則，，，，設平面的法向量，

則所以

令，得平面的一個法向量，

取平面的法向量，

由，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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根據(jù)散點圖的特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理，如下表：

其中，．

（1）（）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；

（）根據(jù)所建立回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億，則科技投入的費用至少要多少（其中）？

（2）乙認為樣本點分布在二次曲線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關指數(shù)，試比較甲乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好．

附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關指數(shù)：．

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（Ⅱ）如果語文和數(shù)學兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學優(yōu)秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）根據(jù)（I）（Ⅱ）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀？

附：①若~，則，；

②；

③

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