Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，圓心為F₂且和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為P．若∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓與漸近線相切得到圓的半徑，結合直角三角形的邊長關系以及雙曲線的定義建立方程進行求解即可．

解答 解：設雙曲線的一個焦點為F₂（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$±\frac{a}x$，取bx-ay=0，
則焦點到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，
∵圓心為F₂且和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為P．
∴圓的半徑為b，
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，
∴PF₁⊥PF₁，
則PF₁-PF₂=2a，即PF₁=PF₂+2a=2a+b，
∵PF₁²+PF₂²=4c²，
∴（2a+b）²+b²=4c²，
即4a²+4ab+b²+b²=4c²，
即4ab+2b²=4c²-4a²=4b²，
即4ab=2b²，則b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{5{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\sqrt{5}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直角三角形的邊角關系以及雙曲線的定義建立方程是解決本題的關鍵．