Question

12．若函數(shù)f（x）單調函數(shù)，且對任意實數(shù)x，均有f[f（x）-a^x]=a+1（a≥e，e自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)），則${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的最小值為（　　）

• A． e-1
• B． e+1
• C． e
• D． $\frac{1}{e}+1$

Answer 1

分析 由函數(shù)為單調函數(shù)可知f（x）-a^x為常數(shù)，不妨設f（x）=a^x+c，于是f（c）=a+1，從而解出c，得出f（x）的解析式，利用定積分可得結論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的單調函數(shù)，不妨設f（c）=a+1，
∴f（x）-a^x=c，即f（x）=a^x+c．
∴f（c）=a^c+c=a+1．∴c=1．∴f（x）=a^x+1．
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（a^x+1）dx=（$\frac{{a}^{x}}{lna}$+x）${|}_{0}^{1}$=$\frac{a}{lna}$+1-$\frac{1}{lna}$，
∵a≥e，e自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的最小值為e
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性的性質，考查定積分知識的運用，屬于中檔題，求出f（x）解析式是關鍵．