Question

3．已知三次函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（a-x）其中a為實(shí)數(shù)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f'（x），以下5種說法
①函數(shù)y=f（x）是中心對(duì)稱圖形；
②對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)m，n，p，關(guān)于x的方程m[f′（x）]²+nf′（x）+p=0的解集都不可能是{1，4，16，64}
③對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)m，n，p，關(guān)于x的方程m[f′（x）]²+nf′（x）+p=0的解集有可能是{1，4}
④對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)m，n，p，關(guān)于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集都不可能是{1，2，3，5}
⑤對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)m，n，p，關(guān)于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集有可能是{1，2，4，8，16，32}
正確的是①②③④．（寫出所有正確的代號(hào)）

Answer 1

分析 由f（x）=-f（a-x）求出函數(shù)f（x）圖象對(duì)稱中心，可判斷出①；根據(jù)條件設(shè)函數(shù)f′（x）的解析式，由二次函數(shù)的對(duì)稱性判斷出②和③；由函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心判斷出④和⑤．

解答 解：①、由f（x）=-f（a-x）得，函數(shù)f（x）圖象對(duì)稱中心是（$\frac{a}{2}$，0），
所以函數(shù)y=f（x）是中心對(duì)稱圖形，①正確；
②、由題意不妨設(shè)f′（x）=ax²+bx+c，則對(duì)稱軸是x=$-\frac{2a}$，
設(shè)方程m[f′（x）]²+nf′（x）+p=0的解為k₁，k₂，不妨設(shè)k₁＞k₂，
則f′（x）=k₁與f′（x）=k₂的解，
由于對(duì)稱性，則方程f′（x）=k₁的兩個(gè)解x₁，x₂要關(guān)于直線x=$-\frac{2a}$對(duì)稱，
則x₁+x₂=$-\frac{2a}$×2=$-\frac{a}$，
同理方程f′（x）=k₂的兩個(gè)解x₃，x₄，且x₃+x₄=$-\frac{a}$，
若解集是{1，4，16，64}，中間兩個(gè)數(shù)4，16的對(duì)稱軸為10，
而最大值和最小值1，64的對(duì)稱軸為$\frac{65}{2}$，即函數(shù)的圖象不是軸對(duì)稱圖形，②正確；
③、由②知，方程m[f′（x）]²+nf′（x）+p=0有一解為k，則f′（x）=k，
由于對(duì)稱性，則方程f′（x）=k的兩個(gè)解x₁、x₂可以是1和4，③正確；
④、設(shè)方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解為k₁，k₂，
則f（x）=±k₁與f（x）=±k₂，
因?yàn)槿�次函�?shù)f（x）圖象對(duì)稱中心是（$\frac{a}{2}$，0），
所以方程f（x）=±k₁與f（x）=±k₂的所有解中：
其中的兩個(gè)解組合后關(guān)于點(diǎn)（$\frac{a}{2}$，0）對(duì)稱，
若解集是{1，2，3，5}，2和3的對(duì)稱中心是（2.5，0），
但是1和5的對(duì)稱中心是（3，0），則不滿足條件f（x）=-f（a-x），
所以方程的解集都不可能是{1，2，3，5}，④正確；
⑤、由④得，解集{1，2，4，8，16，32}中的數(shù)無論怎么分組，
不滿足條件f（x）=-f（a-x），
所以方程的解集不可能是不滿足條件f（x）=-f（a-x），⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的對(duì)稱性，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題、解決問題的能力，難度較大．